6.- RESUMEN Y EVALUACIÓN.

LOS PRINCIPALES PUNTOS TRATADOS EN ESTA UNIDAD DIDÁCTICA HAN SIDO

1.- CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
2.- REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA REAL
            2.1.- INTERVALOS
            2.2.- REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES
3.- LAS POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO
            3.1.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
4.- RADICALES
            4.1.- OPERACIONES CON RADICALES.


EJERCICIOS Y AUTOEVALUACIÓN.

5.- OPERACIONES CON RADICALES

Cuando expresamos un número como una potencia, se pueden utilizar exponentes fraccionarios.
En dichos casos

El númerador del exponente corresponde a la potencia del número
El denominador es el índice de la raíz.

Las operaciones básicas de producto y multiplicación son sencillas

PRODUCTO cuando las bases son las misma es la suma de los exponentes
COCIENTE la diferencia.

En virtud de estas operaciones podremos factorizar valores y expresarles como un número entero multiplicado por una raíz.

4.- NOTACIÓN CIENTÍFICA

Es una forma de expresar cifras muy grandes o muy pequeñas. Para ello, se expresa el número con un entero y una ó dos cifras decimales, seguidas por la potencia de 10 correspondiente. El orden de magnitud es el exponente de la potencia de 10. 

3.- OPERACIONES CON POTENCIAS

Cuando queremos expresar las multiplicaciones sucesivas de un número por sí mismo, lo hacemos con potencias. Una potencia consta de un número (base) y un superíndice (exponente). La base es el número que se multiplica por sí mismo. El exponente es el número de veces que se multiplica la base por sí mismo.

Existen algunas expresiones singulares de potencias.

1.- Cualquier número elevado a cero es uno

2.- Cualquier número elevado a uno es él mismo

3.- Un exponente negativo indica que la potencia está en el denominador

4.- Un exponente fraccionario corresponde a una raíz cuyo índice es el denominador y cuya potencia es el numerador. Volveremos sobre este concepto más adelante.

PRODUCTO DE POTENCIAS

Sólo cuando la base es la misma, es una potencia cuya base es la misma y el exponente la suma de ambos.

Si la base es diferente se recomienda descomponer en sus factores primos y aplicar la norma anterior.

COCIENTE DE POTENCIAS

Considerando que un denominador se puede expresar con el mismo exponente negativo. Si se hace dicha conversión se convierte en el caso antenrior.

SUMAS Y RESTAS

Es preciso tener el mismo orden de magnitud y se realiza sacando factor común las potencias correspondientes y multiplicando por la suma resultante.

Los ejercicios nos permitirán aclarar los conceptos anteriormente explicados.

EJERCICIOS

1.- Realiza las siguientes operaciones

1,5 elevado a cero
(-2/3) elevado a la quinta
0,1 elevado a (-3)
(-1) elvado a 9

2.- APROXIMACIÓN Y ERRORES

1.- APROXIMACIÓN

Resulta muy complicado utilizar los números irracionales en la vida real. Por dicho motivo se utilizan aproximaciones. Existen principalmente 2 formas de aproximar un número

1.- El truncado: Consistente en seleccionar el número de cifras significativas sin importar el valor de la siguiente cifra significativa.
2.- El redondeo. Cuando se redondea si la cifra que ya no se considera es 5 o mayor que 5 el redondeo se realiza por exceso (se suma 1). En caso contrario no, despreciándose los posibles valores y el redondeo es por defecto.

EJERCICIOS:

Halle los valores truncando por exceso, defecto y redondeo en la 2ª cifra decimal de los siguientes números

Pi, SQR2, 3,5678, 12,45000


2.- CONCEPTO DE ERROR Y SU CÁLCULO.

Al utilizar una aproximación de un número cometemos una incertidumbre. La diferencia entre la aproximación y el valor real, se denomina error o incertidumbre absoluta.
Sin embargo, dicha incertidumbre no da suficiente información sobre la bondad de la aproximación. Es mejor usar el concepto de error o incertidumbre relativa. Que es el valor de la incertidumbre absoluta entre el verdadero valor.
Las definiciones son claras. Sin embargo, en ocasiones el verdadero problema es expresar números decimales periódicos o números irracionales en forma de fracción para poder determinar dicho error. Recordemos brevemente dichas reglas.

1.- Decimales exactos como fracciones de la unidad seguida de ceros
2.- Periódicos puros: La parte entera se mantiene y la periódica se representa como una fracción cuyo numerador es el periodo y cuyo denominador está formado por tanto nueves como cifras tenga el periodo.
3.- Periódicos mixtos: en el numerador la diferencia de la parte decimal
 (antiperiodo+periodo)- periodo. Y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período y tanto ceros como cifras tenga el antiperíodo.

EJERCICIOS

CALCULAR EL ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO QUE SE COMETE AL APROXIMAR 25/3 COMO 8,3.

1.- LOS NÚMEROS Y LOS INTERVALOS

1.- LOS NÚMEROS Y SUS CLASIFICACIONES

La función principal de los números es poder contar con ellos. Por ello se aumenta el nivel de complejidad cuando se aumentan las necesidades

Los números naturales N (siempre son positivos y se refieren a unidades)
Los números enteros  Z(constan de un símbolo que refleja si están representados a la derecha del cero en la recta real o a la izquierda).
Los racionales contemplan la posibilidad de que no se trate de unidades enteras Q y son fracciones y decimales.
Cuando un número no puede representarse en la recta real, recibe el nombre de irracional I. Este tipo de números se caracteriza por ser decimales periódicos, o con infinitos decimales.
Además la raíz de (-1) no existe en el campo real, es el número i y da lugar a un conjunto de números denominados complejos o imaginarios. Dicho tipo de números tienen numerosas aplicaciones en el campo de la física.


2.- LOS INTERVALOS.

Los números reales,  se pueden representar en la recta real. Sobre ella se pueden definir dos tipos de segmentos o intervalos

1.- Intervalos abiertos. Los intervalos abiertos se representan mediante paréntesis y en ellos se incluyen los extremos > ó <
2.- Intervalos cerrados. Se representan mediante corchetes y no se incluyen los extremos es decir son <= ó >=

Podemos tener intervalos que tengan un extremos abierto y otro cerrado. De ser así se deberá indicar con la notación anteriormente explicada.


EJERCICIOS

1.- CLASIFIQUE LOS SIGUIENTES NÚMEROS.

A) PI I    B) 3/4  Q  c) -5 Z  d) 4 N

2.- Que significa (-2,5)  Significa que  -2 >x >5

3.- Qué significa [-2, 5]  Significa -2 >= x>= 5

4.- Cuáles son las diferencias entre ambas expresiones.

Los intervalos abiertos no incluyen los extremos y los cerrados sí los incluyen